非欧几何的诞生（罗巴切夫斯基/波约/黎曼）
19世纪罗巴切夫斯基、波约与黎曼独立突破平行公设，开创非欧几何。
背景
自欧几里得以来，第五公设（平行公设）——“过直线外一点有且仅有一条平行线”——因表述繁复，一直被怀疑可由其余公设推出。无数证明尝试均告失败，这成为初等几何的”丑闻”。
详细描述
19世纪，高斯、罗巴切夫斯基与波约各自独立意识到平行公设独立于其余公设。罗巴切夫斯基于1829年发表”虚几何”，假设过直线外一点可作无穷多条不相交直线（双曲几何），此时三角形内角和小于 ；波约于1832年作为其父著作的附录发表平行结论的”绝对几何”。高斯生前未发表，仅于书信中表明早已得此思想。1854年黎曼在就职演说中提出椭圆几何：同一平面内任意两直线必相交，三角形内角和大于 ，并以曲率概念统一几何（常曲率空间）。
求解过程 / 影响
非欧几何打破了”欧氏几何唯一正确”的传统信念，证明几何公理是人造的约定，从而解放了几何学并催生现代公理方法。1868年贝尔特拉米给出局部模型，1871年克莱因建立射影模型统一三类几何。黎曼以度量与流形思想为广义相对论提供了数学框架——爱因斯坦的引力几何化正依赖黎曼几何。这是数学史上一次深刻的范式革命：几何真理不再等同于欧氏直观。