伽罗瓦：群论与方程可解性
伽罗瓦以群与域刻画方程根式可解性，创立群论并彻底解决五次方程问题。
背景
16世纪人们已得三次、四次方程根式解；其后三百年寻求五次方程公式均告失败。拉格朗日指出根之置换是关键，鲁菲尼（1799）与阿贝尔（1824）证明一般五次方程无根式解，但未能给出判别准则。
详细描述
埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，1811–1832）在1832年决斗前夕的书信中完整解决了这一问题。他引入”群”——根的所有置换构成的对称结构（今称伽罗瓦群），并建立域扩张与其自同构群之间的对应。伽罗瓦定理断言：多项式方程可用根式求解，当且仅当其伽罗瓦群是”可解群”，即存在一列正规子群使相邻商群均为阿贝尔群。一般 次方程的伽罗瓦群是对称群 ；当 时 不可解，因此无一般根式解。
求解过程 / 影响
伽罗瓦把方程求解转化为群的结构问题，不仅解释了阿贝尔–鲁菲尼定理，更给出任一具体方程可解性的判别准则，并由此否定回答三大尺规作图难题。他的手稿1846年由刘维尔发表，经若尔当（1870）系统阐述后，群论成为现代代数的核心，渗透到数论、几何与物理。伽罗瓦工作是数学从计算走向结构的里程碑，其群论思想至今是现代数学统一语言的基础。