阿贝尔：五次方程无根式解
阿贝尔1824年严格证明一般五次方程无根式解，开启方程可解性研究。
背景
三次、四次方程在16世纪已由意大利数学家（卡尔达诺、费拉里等）解出根式公式。此后数百年，寻找五次及高次方程的一般根式解成为代数的中心难题。
详细描述
挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802–1829）在1824年自费出版小册子，严格证明：一般的五次（及更高次）代数方程不能由系数经有限次加减乘除与开方得到根式解。其证明的关键是”阿贝尔定理”：若方程可根式解，则表达式中每个根式都可表为方程诸根与某些单位根的有理函数。由此他证明高于四次的一般方程不存在此类表达式。更完整的证明于1826年发表于《克雷尔杂志》。阿贝尔还发现一类可用根式解的特殊方程（阿贝尔方程），并开创椭圆函数研究。
求解过程 / 影响
阿贝尔–鲁菲尼定理（鲁菲尼1799年几乎证出，阿贝尔填补漏洞）终结了三百年的求解努力，将问题从”是否存在公式”转为”哪些方程可解”。阿贝尔的置换与域的思想为伽罗瓦理论铺平了道路。他英年早逝（27岁），但其工作与椭圆函数研究深刻影响了19世纪代数与分析的发展；雅可比曾言”阿贝尔留下的思想够数学家忙上150年”。