代数基本定理与最小二乘法

高斯1799年给出代数基本定理首个实质证明，并创立最小二乘法。

时代: 19世纪
文明 / 地域: 欧洲

背景

代数基本定理断言：任一 $n$ 次复系数多项式恰有 $n$ 个复根（计重数）。17—18世纪多位数学家尝试证明但均有漏洞。与此同时，天文观测数据处理迫切需要可靠的参数拟合方法。

详细描述

1799年高斯在其博士论文中给出代数基本定理的”首个实质严格证明”，其核心是证明实系数多项式必有一实根（结合共轭复根成对出现，即得全部复根）。虽然早期证明依赖几何直观（后高斯在1816年又给出纯代数与分析的两个证明），但它终结了长期争论。约在同一时期，高斯为确定谷神星轨道提出最小二乘法：在观测值 $y_i$ 与模型 $f_i(x)$ 之间，取使残差平方和

$S=\sum_{i=1}^n \bigl(y_i-f_i(x)\bigr)^2$

最小的参数 $x$ 。这一方法可借正规方程 $A^TA\,\hat x = A^T y$ 求解，与线性代数紧密相关。

求解过程 / 影响

代数基本定理确立了复数域的代数封闭性，是域论与代数方程的基石；最小二乘法成为实验科学与统计推断的标准工具，至今贯穿线性回归、信号处理与机器学习。高斯在证明与方法中体现的”存在性 + 构造性”双重进路，体现了19世纪代数与分析的融合，也为后来实数理论与逼近方法的发展提供了范例。