费马与数论、费马小定理

背景

皮埃尔·德·费马（公元 1607—1665 年）是法国图卢兹的法官，业余钻研数学却成就斐然，被誉为”现代数论之父”。他极少发表，成果散见于书信与藏书页边的批注，却为后世数论定下主题。

详细描述

1640 年 10 月 18 日，费马在致友人弗雷尼克（Frénicle de Bessy）的信中陈述了费马小定理：若 $p$ 为素数、$a$ 不被 $p$ 整除，则

$a^{p-1}\equiv 1\pmod p,$

等价地 $p\mid (a^p-a)$。这一定理是素数判别与公钥密码（如 RSA）的基石，但费马本人未给证明，首个发表证明出自欧拉（1736 年）。

费马还系统研究 $4k+1$ 与 $4k-1$ 型素数、平方和表示，并发明无穷递降法证明某些方程无解（如不存在整数边长、面积为平方数的直角三角形）。最著名的页边批注，出现于他阅读的丢番图《算术》上：不可能把立方分为两个立方，一般地 $x^n+y^n=z^n$ 对 $n>2$ 无正整数解——即费马大定理（见相关里程碑），他戏称”已找到绝妙证明，但页边太窄写不下”。

求解过程 / 影响

费马把数论从零散观察提升为以证明为核心的科学，其小定理、无穷递降法与各类猜想塑造了此后三百年的数论主线。费马大定理直到 1994 年才由怀尔斯借助模形式与椭圆曲线证明，成为数学史上最传奇的悬念之一；而费马小定理至今仍是计算数论与密码学的基本工具。

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数学问题

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学科分支

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