欧多克索斯的比例论与穷竭法

欧多克索斯以比例论化解无理数危机，并以穷竭法预告了积分思想。

时代: 古代
文明 / 地域: 古希腊

背景

欧多克索斯（约公元前 390—337 年）生于尼多斯，是柏拉图学园中杰出的数学家与天文学家。毕达哥拉斯学派发现不可公度量（如 $\sqrt{2}$ ）后，希腊数学面临危机：基于”整数比”的比例理论无法处理这类量。欧多克索斯的工作正是为了填补这一漏洞。

详细描述

他的比例论被欧几里得《几何原本》第五卷完整收录。其核心是用”任取倍量作比较”的嚆矢式定义：两量 $A:B$ 与 $C:D$ 成比例，当且仅当对任意整数 $m,n$ ，都有 $mA\gtrless nB$ 与 $mC\gtrless nD$ 同序。这一定义不依赖两数是否可公度，从而把比例推广到一切可通约与不可通约的量，巧妙绕开了无理数带来的逻辑困难。

在同一思想下，他发明穷竭法（method of exhaustion）：为求曲线形面积或体积，先用可求积的多边形（或多面体）从内部不断逼近，当误差可被”任意小的量”挤压殆尽时，便认定二者相等。这一方法由阿基米德发扬光大。

求解过程 / 影响

欧多克索斯的比例论使希腊数学在遭遇无理数后仍保持逻辑严密，直接支撑了《几何原本》的体系；穷竭法则成为两千年后牛顿—莱布尼茨积分学的古代原型。现代极限定义中”任意给定 $\varepsilon$ ，存在……使误差小于 $\varepsilon$ “的精神，与他的嚆矢比较法一脉相承。