婆罗摩笈多：零与二次方程 · 世界数学发展史

背景

婆罗摩笈多（公元 598—668 年）是印度数学与天文学的集大成者，其《婆罗摩历算书》（Brāhmasphuṭasiddhānta，公元 628 年）不仅确立天文常数，更用整章讨论算术与代数，是印度数学承前启后的关键文献。

书中首次系统给出零与负数的运算规则：正数加零得本身；负数减零仍为负；并列出”债务（负）与财富（正）“的四则法则，如”同号两数之积为正，异号之积为负”。虽然他对 $0\div 0$ 与非零数除以零的处理尚不严谨，但把零当作可运算的数，已是重大突破。

在代数上，婆罗摩笈多给出二次方程

$ax^2+bx=c$

的求根公式（在其只取正数解的表述下）：

$x=\frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}.$

他还提出著名的婆罗摩笈多恒等式（后称斐波那契恒等式）：

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2,$

为后来的整数表示理论研究埋下伏笔。

婆罗摩笈多把印度的零、负数与代数整合成体系，并通过阿拉伯世界（花拉子米曾研读其书）西传，间接塑造了中世纪代数。他的二次方程公式与不定时恒等式，在数论与代数史上影响深远；其与后代学者对 $x^2-Ny^2=1$ （佩尔方程）的研究，更开启了不定方程的漫长探索。