邦贝利《代数学》与复数

拉斐尔·邦贝利系统给出复数运算法则，使三次方程的虚数解获得合法地位。

时代: 文艺复兴
文明 / 地域: 欧洲

背景

16 世纪意大利代数在三次、四次方程求根公式上取得突破（卡尔达诺、塔塔利亚），但出现了一个怪象：不可约情形下，实根公式里竟出现虚数（负数的平方根）。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli，1526—1572）在其《代数学》（1572）中正视并规范了它。

详细描述

邦贝利首次系统给出复数的加减乘除法则。例如他规定 $(a+b\sqrt{-1})(c+d\sqrt{-1})=(ac-bd)+(ad+bc)\sqrt{-1}$ 并演示如何把形如 $\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}$ 的表达式化为 $a+b\sqrt{-1}$ 后再相乘，最终得到实数结果，从而化解”卡丹悖论”。

他用大量例题证明：即便公式中途出现 $\sqrt{-1}$ ，只要运算规则正确，最终仍可得实根。这等于在形式上承认了虚数的运算合法性。

求解过程 / 影响

邦贝利的工作是把复数从”玄虚的怪物”变成可用计算工具的转折点，为 18—19 世纪复数（及后来的复分析、复平面）的严格建立扫清了障碍。没有这关键一步，三次方程的解与后来的电气工程、量子力学中的复数语言都无从谈起。