布莱克–斯科尔斯期权定价模型

背景

期权等金融衍生品的合理定价长期依赖直觉与经验。随着衍生品市场发展，亟需一个基于严密数学、可计算的理论价格框架。

详细描述

1973年，费雪·布莱克（Fischer Black）与迈伦·舒尔斯（Myron Scholes）在《政治经济杂志》发表《期权与公司负债的定价》；同年罗伯特·默顿（Robert Merton）在《Bell Journal of Economics》发表《理性期权定价理论》加以扩展，形成布莱克–斯科尔斯–默顿模型。

模型假设标的资产价格服从几何布朗运动：

$$dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW,$$

其中 $\mu$ 为漂移、$\sigma$ 为波动率、$W$ 为标准维纳过程。通过构造”delta对冲”的无风险组合，可推导出期权价格满足的抛物型偏微分方程（布莱克–斯科尔斯方程），并给出欧式看涨期权的解析公式：

$$C=S_0 N(d_1)-K e^{-rT} N(d_2),\quad d_{1,2}=\frac{\ln(S_0/K)+(r\pm\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}},$$

其中 $N(\cdot)$ 为标准正态分布函数，$K$ 为行权价，$T$ 为到期，$r$ 为无风险利率。

求解过程 / 影响（含最新进展若相关）

该模型为期权市场提供了首个严密定价基准，直接催生了现代衍生品市场的繁荣。舒尔斯与默顿因此获1997年诺贝尔经济学奖（布莱克已于1995年逝世，未获奖，但诺奖委员会肯定其贡献）。模型的”波动率恒定""对数正态”等假设在实务中需修正——波动率微笑、肥尾、跳跃扩散与随机波动率模型等是对其的重要推广。

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学科分支

• probability
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