阿基米德：穷竭法、圆周率与浮力

阿基米德以穷竭法夹逼圆周率、求抛物线面积，并奠定流体静力学基础。

时代: 古代
文明 / 地域: 古希腊

背景

阿基米德（约公元前 287—212 年）生于叙拉古，是古代世界最杰出的数学家与工程师。他继承欧多克索斯的穷竭法，并将其推向空前精密的程度，在几何求积与力学两方面都留下奠基性成果。

详细描述

在求圆周率时，阿基米德从圆的内接与外切正六边形出发，反复倍增边数至正 96 边形，用两边周长”夹逼”圆周长，得到

$\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7},$

即 $3.1408<\pi<3.1429$ ，这是古典时代最精确的 $\pi$ 估值。他还用穷竭法证明：抛物线弓形面积等于同底同高三角形面积的 $\frac{4}{3}$ ；并求得球表面积 $4\pi r^2$ 与球体积 $\frac{4}{3}\pi r^3$ 。

在力学上，他提出浮力原理（浸没物体受向上的浮力等于所排开液体的重量），并给出杠杆定律。其《方法论》更以”力学直观”先猜想、再补以几何证明，暗合后世积分中的”微元”思想。

求解过程 / 影响

阿基米德把穷竭法发展为系统的求积算法，是微积分诞生前处理无限与直线、曲线与面积的巅峰。他对 $\pi$ 的夹逼、对球与抛物面的结果，长期是精度标杆；浮力与杠杆原理则开创了流体静力学与静力学。罗马人攻破叙拉古时，他正沉迷于沙上画图而被杀，但其著作经阿拉伯译本回传欧洲，直接启发了文艺复兴时期的数学家。