丘成桐

获奖原因

丘成桐（1949–）是当代几何分析领袖。他证明”卡拉比猜想”（Calabi–Yau 流形存在）、“正质量猜想”，并参与解决”庞加莱猜想”的几何分析（与汉密尔顿的 Ricci 流、佩雷尔曼的工作相接）；其”卡拉比–丘”流形已成为弦论的核心几何（1982 年菲尔兹奖）。

问题来龙去脉

丘成桐的核心成就是把非线性偏微分方程（特别是复 Monge–Ampère 方程）用于证明几何存在性定理。

卡拉比猜想（1977）。E. 卡拉比猜想：对紧 Kähler 流形 $(M,\omega)$，若其第一陈类 $c_1(M)=0$（即典则丛平凡/缩并平凡），则存在唯一的里奇平坦（Ricci-flat） Kähler 度量，且属于给定的 Kähler 类。丘成桐证明：存在这样的度量，等价于某复 Monge–Ampère 方程有解：

$$(\omega+i\partial\bar\partial \varphi)^n = e^f \omega^n, \qquad \omega+i\partial\bar\partial\varphi>0,$$

其中 $\int_M(e^f-1)\omega^n=0$。丘成桐用”先验估计 + 连续性方法”证明此强非线性椭圆方程解的存在性，构造出如今称为 Calabi–Yau 流形 的对象—— Ricci 平坦、复三维的 CY 流形正是超弦理论的”紧化空间”。

正质量猜想（1979，与舍恩）。广义相对论中，孤立系统的”ADM 质量”应为非负，且为零当且仅当平直时空。丘成桐与舍恩用”极小曲面”方法证明：对渐近平直的里奇平坦初始数据，质量 $m\ge 0$。这是微分几何与广义相对论的重要接口。

几何分析的其他贡献。他还证明”弗兰克尔猜想”（紧、具有正双截面曲率的 Kähler 流形必为复射影空间）、“史密斯猜想”的部分、并与汉密尔顿发展 Ricci 流，为佩雷尔曼最终解决三维庞加莱猜想铺路（丘成桐门下亦有多人参与）。

丘成桐创办”晨兴数学中心”等机构，培养了大批华人几何学者，并长期推动中国数学发展。其工作把 PDE、几何与物理熔为一炉，是几何分析的奠基人。

相关链接

沃尔夫奖 微分几何偏微分方程