安德鲁·怀尔斯

获奖原因

安德鲁·怀尔斯（1953–）因证明费马大定理而闻名于世。他通过证明半稳定椭圆曲线的”模性定理”（与泰勒合作完成），把费马方程与模形式联系起来，从而终结了长达 350 年的数学悬案（1995 年完整发表，2016 年获阿贝尔奖）。

问题来龙去脉

费马大定理断言：对整数 $n>2$，方程

$$x^n+y^n=z^n$$

没有非平凡整数解。怀尔斯的证明走了一条出人意料的路径——把数论问题转化为模形式与伽罗瓦表示的对应。

谷山–志村–韦伊猜想（模性）。1950–60 年代，谷山丰、志村五郎与韦伊提出：每条（适度）有理椭圆曲线 $E$ 都是”模的”——即其 Hasse–韦伊 L 函数 $L(E,s)$ 等于某模形式的 L 函数。若此猜想对”半稳定”椭圆曲线成立，则费马大定理可得证：因为若 $a^n+b^n=c^n$，可构造 Frey 曲线 $E: y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$，它的判别式异常、不可能模，从而导出矛盾（里贝特已证明：模性猜想蕴含费马大定理）。

怀尔斯的策略。怀尔斯要证：半稳定椭圆曲线皆模。他把”椭圆曲线—模形式”的对应重写为”伽罗瓦表示—自守形式”的对应（属朗兰兹纲领的特例）：即把 $E$ 的 Tate 模给出的 2 维伽罗瓦表示，提升为 $\mathrm{GL}_2$ 的自守形式。关键技术包括：

• **岩沢理论（Iwasawa theory）**与”主猜想”框架；
• 谷山环（Taylor–Wiles 构造）：通过构造特殊的变形环与 Hecke 环，证明二者同构；
• 塞尔的 ε 猜想与里贝特的级 lowering。

1993 年他首次宣布证明，但因一处”欧拉系”缺口受挫；1994 年他与学生理查德·泰勒以”模性定理”的另一种论证（用 $\mathrm{GL}_2$ 的变形理论）补全，最终于 1995 年在《 Annals》发表两篇长文，完整证明费马大定理。

影响。怀尔斯的工作把模形式、伽罗瓦表示、变形理论与 Iwasawa 理论熔为一炉，极大推动了模性定理与朗兰兹纲领。其证明是二十世纪数学的最高成就之一，也直接带动了数论多个分支的复兴。

相关链接

沃尔夫奖 数论 费马大定理