米哈伊尔·格罗莫夫

获奖原因

米哈伊尔·格罗莫夫（1943–）是当代几何最具原创力的思想者。他创立”辛几何中的伪全纯曲线”理论（Gromov–Witten 不变量之源）、提出”非紧流形上的收敛（Gromov–Hausdorff 度量）”、“等周不等式与 systolic 几何”、“几何群论”的纲领，方法横跨分析与拓扑。

问题来龙去脉

格罗莫夫的风格是提出全新视角，以下三例可见一斑。

伪全纯曲线与辛几何（1985）。经典微分拓扑无法区分同胚的辛流形。格罗莫夫引入几乎复结构 $J$ 下的”伪全纯曲线”：映射 $u:(Σ,\ j)\to (M,J)$ 满足 $\bar\partial_J u=0$，即 $du+J\circ du\circ j=0$。在辛流形 $(M,\omega)$ 的适当几乎复结构上计数此类曲线的模空间，得到同伦不变量——即后来 Gromov–Witten 不变量的雏形。这开创了”辛拓扑”，并直接催生镜像对称（弦论）的数学化。

等周与 systolic 不等式。在黎曼几何中，格罗莫夫把等周不等式推广到曲率有下界的流形，证明”伯恩斯坦型”与”填充半径”定理。在 systolic 几何中，他研究流形上最短非平凡闭测地线长度 $\operatorname{sys}(M)$ 与体积的关系，给出 $\operatorname{sys}(M)\le C_n \operatorname{vol}(M)^{1/n}$ 型上界，连接了几何、拓扑与数论（如格点的 systolic）。

几何群论。他提出以”多项式增长”刻画群（与庞特里亚金等），并给出”格罗莫夫多项式增长定理”：具有多项式增长的离散群必含有限指数幂零子群（此推进了希尔伯特第五问题的离散版）。他还定义”双曲群（Gromov-hyperbolic groups）“——满足细三角不等式的度量空间类，统一了负曲率几何与组合群论，开启几何群论这一学科。

格罗莫夫还以”格罗莫夫紧性定理”（在 Ricci 曲率下有下界、直径有上界时流形列在 Gromov–Hausdorff 度量下紧）深刻影响 Ricci 流与几何分析。他提出的”格罗莫夫体积”（Gromov norm/示性数）把拓扑不变量与几何度量相连，影响至今。

相关链接

沃尔夫奖 微分几何群论