拉尔斯·赫尔曼德

获奖原因

拉尔斯·赫尔曼德（1931–2012）是线性偏微分方程理论的集大成者。他系统建立伪微分算子与傅里叶积分算子理论，给出一般线性 PDE 的可解性与亚椭圆性的判据，其四卷本《线性偏微分算子》是该领域的”圣经”。

问题来龙去脉

赫尔曼德的统一目标，是为一大类线性偏微分方程提供存在性、唯一性与正则性的普适判据。

伪微分算子（ψDO）。经典微分算子 $\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x)D^\alpha$ 的推广是符号 $a(x,\xi)$ 的算子

$$(Pu)(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int e^{i x\cdot \xi}a(x,\xi)\hat u(\xi)\,d\xi,$$

其中 $\xi$ 为频率。赫尔曼德系统建立了 ψDO 的演算：复合、伴随、椭圆算子的参数化（拟逆），并证明：若主符号 $p_m(x,\xi)$ 在无穷远不为零，则 $P$ 为椭圆，存在 Green 算子使 $P\circ Q-I$ 光滑——从而椭圆方程解自动光滑（正则性）。

亚椭圆性与哥尔丁不等式。对更一般的（非椭圆）算子，赫尔曼德给出亚椭圆性的判据：解的光滑性局部不低于右端。他与梅利纳克、科恩等证明著名的”赫尔曼德估计”与哥尔丁型不等式，刻画了 $P$ 的亚椭圆区域。

傅里叶积分算子（FIO）。为处理双曲型与传播现象，赫尔曼德把 ψDO 推广到 FIO，用以描述波前集（wave front set）沿Hamilton流的传播。波前集 $WF(u)\subset T^*X\backslash 0$ 精确刻画了分布 $u$ 的奇性位置与方向，是奇性分析的犀利工具。

L² 方法与复分析。他还用 $\bar\partial$ 问题的 L² 估计（与 Hörmander 方法）给出多重复变中拟凸域上 $\bar\partial$ 解的存在性，深刻影响复几何。

赫尔曼德以极致的严谨与系统性著称。他的工作把此前零散的 PDE 结果（柯西问题、边值问题、亚椭圆性）统一于”微局部分析”框架，至今仍是 PDE、几何分析与数学物理的标准语言。

相关链接

沃尔夫奖 偏微分方程泛函分析