陈省身 · 世界数学发展史

获奖原因

陈省身（1911–2004）是二十世纪最重要的微分几何学家。他创立”陈类”（Chern classes）与”陈–韦伊理论”，把局部曲率与整体拓扑不变量联系起来，奠定了纤维丛几何与规范场论的数学基础，被誉为”现代微分几何之父”。

陈省身工作的核心，是把”整体的”拓扑不变量用”局部的”微分几何量（曲率）表达出来，这一思想可追溯到高斯–博内定理。

陈类。对复向量丛 $E\to M$ ，陈省身定义一组上同调类 $c_k(E)\in H^{2k}(M;\mathbb{Z})$ ，即陈类。它们刻画丛的”扭曲”程度：例如全陈类

c(E)=1+c_1+c_2+\cdots

满足惠特尼求和公式 $c(E\oplus F)=c(E)c(F)$ 。陈类的妙处在于可用联络的曲率形式 $\Omega$ 通过 invariant polynomial 显式写出（陈–韦伊理论）：

c_k(E)=\left[\frac{1}{(2\pi i)^k} \operatorname{tr}(\wedge^k \Omega)\right]_{\text{deg }2k}.

陈–韦伊理论（1940s–50s）。陈省身与韦伊证明：用任意联络的曲率构造的不变多项式，其闭形式类的上同调类与联络选取无关，并等于相应的示性类。这把示性类从拓扑构造转为微分几何构造，是纤维丛几何的枢纽。

高维高斯–博内–陈定理。陈省身将二维的高斯–博内定理推广到高维黎曼流形，给出用曲率构造的”陈–高斯–博内形式”，其积分等于欧拉示性数。这是整体微分几何的里程碑，也是后来指标定理的先声。

影响。陈类已成为代数几何、拓扑、理论物理（规范场、弦论中的陈–西蒙斯项）的通用语言。陈省身还创办 Nankai（南开）数学研究所，培养了丘成桐等后辈，并在 1980 年代推动中国数学复兴。沃尔夫奖授奖词称其工作”深刻影响了整个数学”。