伊曼纽尔·坎戴斯 · 世界数学发展史

获奖原因

伊曼纽尔·坎戴斯（Emmanuel Candès，1970– ）获 2026 年邵逸夫数学科学奖，表彰他对压缩感知（compressed sensing）与数据科学数学基础的先驱性贡献。他与陶哲轩（Terence Tao）在 2006 年前后共同开创了压缩感知理论：证明只要信号在某种基底下是稀疏（sparse）的，就可以用远少于奈奎斯特（Nyquist）采样定理要求的随机线性测量来精确重建。

这一发现颠覆了传统采样范式，深刻影响了医学成像（如快速 MRI）、信号处理与机器学习，并催生了现代高维统计与低秩矩阵恢复的方法论。

问题来龙去脉

一、奈奎斯特极限与”稀疏”的直觉

经典奈奎斯特–香农采样定理说：要无失真恢复一个带宽受限信号，采样率须至少是最高频率的两倍。对高维对象（如图像、体数据），这意味着海量测量——代价高昂。

但现实中的信号往往稀疏：一张自然图像在小波基下绝大多数系数为零；一段语音在频域只有少数活跃频率。如果能直接”利用稀疏性”，是否可能用少得多的测量重建信号？这正是压缩感知要回答的问题。

二、从少量测量恢复：l1 最小化

坎戴斯与陶哲轩（及同期 Donoho）证明：设信号 $x\in\mathbb R^N$ 在已知基下只有 $k\ll N$ 个非零项（即 $k$ -稀疏）。取 $m$ 个随机高斯（或随机傅里叶）测量 $y=Ax$ （ $A$ 为 $m\times N$ 随机矩阵），只要

$m \gtrsim k \log(N/k),$

就可以通过求解 l1 最小化（基追踪，basis pursuit）

$\min \|z\|_1 \quad \text{subject to } Az = y$

唯一且精确地恢复 $x$ ——即使 $m\ll N$ ！

三、为何 l1 可行：几何与不相关性

关键几何直觉：l0 最小化（直接数非零项）是 NP-难的；但 l1 球是”尖”的（在坐标轴上尖锐），而测量约束 $Az=y$ 定义的是一张仿射超平面。当信号真实稀疏且测量矩阵与稀疏基**不相关（incoherent）**时，这张超平面几乎必然只切过 l1 球的一个顶点——恰好就是真实稀疏解。

坎戴斯用 约束等距性质（RIP, restricted isometry property） 把这一几何直觉变成严格证明：若 $A$ 满足 RIP（随机矩阵以高概率满足），则 l1 恢复对所有稀疏信号同时成立，且对噪声稳健（可推广到 l1 正则化 / LASSO）。

四、意义与后续

压缩感知把”采样”从工程经验提升为可证明的数学原理，直接催生了快速 MRI（将扫描时间缩短数倍）、单像素相机、稀疏天线等技术。坎戴斯随后又开创了 矩阵补全（matrix completion，与 Recht 等）、稳健主成分分析（robust PCA） 与 现代高维统计理论，为机器学习与数据科学奠定了严格的数学地基。2026 年邵逸夫奖表彰的，正是他连接纯数学（调和分析、凸优化、概率）与真实世界的桥梁性贡献。