概述

抽象调和分析（MSC 43）研究在局部紧群、李群等抽象代数结构上定义的卷积、表示与 Fourier 变换。主要问题包括：Haar 测度的存在唯一性、群上函数的 Fourier 变换、Peter–Weyl 定理（紧群）、Plancherel 公式，以及非交换调和分析（半单李群的表示，Harish-Chandra）。

它发端于 20 世纪：H. Weyl 与 J. von Neumann 研究群表示，I. Gelfand 与 D. Raikov 建立局部紧群的调和分析，A. Weil 在 1940 年的《群上的积分》中系统发展 Haar 测度与调和分析。Harish-Chandra 在 1950–60 年代给出半单李群表示的深刻分类。

它是傅里叶分析在群上的推广，连接拓扑群、表示论与算子代数。