深谷贤治 · 世界数学发展史

获奖原因

深谷贤治（Kenji Fukaya，1959– ）获 2025 年邵逸夫数学科学奖，表彰他对**辛几何（symplectic geometry）**的基础性贡献，尤其是他创立的 Fukaya 范畴（Fukaya category）——这是同调镜像对称（homological mirror symmetry）的基石，也是现代辛拓扑最核心的不变结构之一。

他还发展了拉格朗日 Floer 同调的严格理论、处理了模空间奇性的 Kuranishi 结构方法，并在规范场论与低维拓扑上做出贡献，把分析、拓扑与代数几何编织成辛几何的现代框架。

问题来龙去脉

一、镜像对称向数学发出的挑战

1990 年代，理论物理中的镜像对称（mirror symmetry）断言：两类看似无关的”镜像”卡拉比–丘（Calabi–Yau）流形，其弦论物理等价。孔采维奇（Kontsevich，1994）将其提升为数学猜想——同调镜像对称：一个辛流形 $X$ 的 Fukaya 范畴 $\mathcal F(X)$ 应与镜像代数流形 $Y$ 的导出凝聚层范畴 $D^b\mathrm{Coh}(Y)$ 等价。

要从数学上验证这一猜想，首先要严格定义 $\mathcal F(X)$ ——这正是深谷的核心贡献。

二、Fukaya 范畴：把辛几何变成代数

Fukaya 范畴 的构造如下：

对象：辛流形 $(X,\omega)$ 中的拉格朗日子流形 $L$ （满足 $\omega|_L=0$ ）；
态射空间：两条拉格朗日 $L_0,L_1$ 之间的** Floer 链群** $CF(L_0,L_1)$ ，由它们的横截交点生成；
微分 / 合成：通过伪全纯曲线（pseudoholomorphic curves） 的计数定义（Gromov 1985 引入的 J-全纯曲线），计数满足 Cauchy–Riemann 型方程的映射 $u:(D^2,\partial)\to (X,L)$ ；
整个结构是一个 $A_\infty$ 范畴（合成不满足结合律，而是有高阶同伦结合律）。

这样，一个”几何对象”（辛流形 + 拉格朗日）被翻译成一个”代数对象”（ $A_\infty$ 范畴），镜像对称因而成为可严格检验的范畴等价。

三、技术难关：模空间奇性与 Kuranishi 结构

Floer 同调的计数涉及模空间（所有伪全纯曲线的空间），而该空间在自动-multiply-covered 曲线等处会产生奇性，使经典流形技术失效。深谷与合作者发展出 Kuranishi 结构 方法——在模空间上装备一种”虚拟”切空间与扰动，从而能良定义计数（即后来的”虚拟基本类 / 虚拟循环”）。

这套严密化工作（与 Ono、Oh、Ohta 等合作的系列论著）是 Fukaya 范畴能成为可靠数学工具的先决条件，也是现代 Gromov–Witten 不变量、辛场论 的基础。

四、意义与后续

Fukaya 范畴已成为辛几何与代数几何之间的”翻译机”：它不仅承载了同调镜像对称的精确表述，还连接了规范场论、顶点代数、簇代数与范畴化等方向。深谷贤治以一人之力（及其学派）为辛拓扑奠定了代数骨架。2025 年邵逸夫奖表彰的，正是这一贯穿现代几何的核心遗产。