路易斯·卡法雷利 · 世界数学发展史

获奖原因

路易斯·卡法雷利（1948–）是当代偏微分方程（PDE）正则性理论的泰斗。他在”完全非线性椭圆方程""自由边界问题”与”Monge–Ampère 方程”上建立了系统而深刻的正则性理论，解决了众多长期悬而未决的难题。2018 年邵逸夫数学科学奖授予他。

问题来龙去脉

一、完全非线性椭圆方程。 经典 Laplace 方程 $\Delta u = 0$ 是”线性”的；而形如 $F(D^2 u) = 0$ 的方程（其中 $F$ 对 Hessian $D^2 u$ 非线性）是”完全非线性”的。典型例子是”蒙日–安培（Monge–Ampère）方程”

$\det(D^2 u) = f(x),$

它出现在最优传输（Brenier 定理：最优传输映射的势能满足 MA 方程）、凸几何与仿射几何中。卡法雷利在 1970–80 年代证明：对”凸解”，即便 $f$ 只是 $L^p$ ，解仍有精确的”内部 $C^{2,\alpha}$ 正则性”——即解的 Hessian 满足赫尔德连续。这依赖于他发明的”缩放（blow-up）“与” Harnack 型”技术：把解在奇点附近做仿射变换后取极限，用”黏性（viscosity）解”框架证明极限是二次型。

更一般地，他与卡布里亚（Cabré）、西尔弗斯特（Silvestre）等证明”Krylov–Safonov 型”的 $C^{2,\alpha}$ 估计对一大类完全非线性方程成立，奠定了”完全非线性椭圆正则性”的通用理论。

二、自由边界问题。 最著名的是”障碍问题”（obstacle problem）：求 $u \ge \phi$ 使

$\min\{-\Delta u, u - \phi\} = 0,$

即 $u$ 在”接触集” $\{u = \phi\}$ 上贴合障碍 $\phi$ ，在外部满足拉普拉斯方程。“自由边界” $\partial\{u > \phi\}$ 是待定的。卡法雷利证明：自由边界（除少数”奇异点”外）是光滑超曲面（他的”ε-正则性定理”）：在自由边界的任意正则点附近，边界可用图表示且 $C^\infty$ 。他给出奇异点的”维数上界”（与韦斯（Weiss）、德席尔瓦（De Silva）合作），并研究”两相”、“多孔介质”与”奇异位”自由边界。

三、其他贡献。 他与克兰德尔（Crandall）、基尼（Kohn）、尼伦伯格（Nirenberg）发展”黏性解”理论（用于 Hamilton–Jacobi 方程）；与弗里德曼（Friedman）研究”反应扩散”与”相变”；与库钦岑科（Kuusi）、明琴科（Mingione）推进”非均匀椭圆”的 Calderón–Zygmund 理论。

卡法雷利的方法论核心是”用几何/缩放把奇点局部化”：他常证明”若解在某点正则性失效，则通过迭代缩放得到反例的极限对象，而该极限对象可被分类”——从而反证奇点稀有。这套”几何化 PDE”的思想深刻影响了现代非线性分析，并直接应用于最优传输、金融数学（美式期权定价即自由边界问题）与材料科学。

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