陈省身

获奖原因

陈省身（1911–2004）是 20 世纪最伟大的几何学家之一，被公认为”整体微分几何之父”。他最著名的贡献是”陈类”（Chern classes）——一种定义于复向量丛上的拓扑不变量，以及把曲率与这些不变量相连的”陈–韦伊（Chern–Weil）理论”。他还证明了高维高斯–博内（Gauss–Bonnet）定理，并提出”陈–西蒙斯（Chern–Simons）不变量”。2004 年首届邵逸夫数学科学奖授予他（与 Raoul Bott 共享）。

问题来龙去脉

一、陈类的诞生。 设 $\pi : E \to X$ 是复流形 $X$ 上的复向量丛，纤维维数 $r$。经典的施蒂费尔–惠特尼（Stiefel–Whitney）类只刻画实丛的模 2 信息，而对复丛，人们需要整系数的精细不变量。陈省身在 1940 年代定义了”陈类” $c_i(E) \in H^{2i}(X; \mathbb{Z})$，满足自然性、惠特尼求和公式 $c(E\oplus F) = c(E)c(F)$、以及典范线丛 $c_1(\mathcal{O}(-1)) = -x$（超平面类）。这些类携带着比同伦更细的几何信息。

二、陈–韦伊理论。 1944 年前后，陈省身与安德烈·韦伊独立发现：陈类可由联络的曲率局部地表示。设 $\nabla$ 是 $E$ 上的 Hermitian 联络，曲率 $\Omega = \nabla^2$ 是 $\mathfrak{gl}_r$-值 2-形式。则”总陈类”

$c(E) = \det\left(I + \frac{i}{2\pi}\Omega\right) = 1 + c_1 + c_2 + \cdots + c_r$

其各分量 $c_k$ 在去除了依赖于联络选择的部分（即”恰当形式”，由陈–韦伊同态的 transgression 消去）后，恰为整上同调类。这把”拓扑不变量”与”微分几何的曲率”直接挂钩，是现代”示性类”理论的基石，也是后来规范场论中”拓扑荷”的数学来源。

三、高斯–博内–陈定理。 经典高斯–博内定理说：紧致曲面 $M$ 上 $\int_M K\, dA = 2\pi \chi(M)$。陈省身把它推广到任意偶维黎曼流形：用切丛的 Pontryagin/陈类（对可定向偶维流形其实是 Pfaffian 形式的积分）给出

$\int_M \mathrm{Pf}\left(\frac{\Omega}{2\pi}\right) = (2\pi)^{n/2} \chi(M).$

他巧妙地把”高斯–博内”从局部曲率上升为”整体拓扑不变量”，这被视为微分几何的里程碑。

四、陈–西蒙斯不变量与物理。 1974 年，陈省身与学生詹姆斯·西蒙斯（James Simons）定义了”陈–西蒙斯形式”：它是陈–韦伊形式的一个” transgression”，是一个三维流形上的 3-形式 $CS(A)$，其外微分 $d\,CS = \mathrm{tr}(F_A \wedge F_A)$。这后来成为”陈–西蒙斯规范理论”的作用量（见威滕条目），在拓扑量子场论与纽结不变量中居核心地位。

陈省身还深刻影响了纤维丛理论（与斯廷罗德（Steenrod）的 fiber bundle 经典著作），并在 postwar 把微分几何的中心从欧洲转移到美国（他创办 Nankai / 伯克利的几何传统）。他的工作让”整体”（global）视角成为现代几何的标志，并直接哺育了杨–米尔斯理论与弦论的几何基础。

相关链接

邵逸夫奖 微分几何代数拓扑流形与胞腔复形