马丁·海尔

获奖原因

马丁·海尔（Martin Hairer，1975– ）获 2014 年菲尔兹奖，表彰他创立正则结构理论（theory of regularity structures），为**奇异随机偏微分方程（singular SPDEs）**提供了严格的数学框架。

许多物理模型（如描述界面生长的 KPZ 方程、量子场论中的 $\Phi^4_3$ 模型、随机伯格斯方程）在”粗糙噪声”下，经典解不存在（项发散）。海尔发明一种”粗糙路径的推广”——把解与噪声一起放进一个分层的”正则结构”空间中，借此定义这些方程的”重整化解（renormalized solution）“，并证明解的存在唯一与连续依赖。这让此前物理上”形式化”的 KPZ / $\Phi^4_3$ 方程第一次有了严谨的数学意义。

此前他还因证明随机动态系统的遍历性（如 2 维随机 Navier–Stokes、随机热方程的恢复）与 Malliavin 计算闻名。正则结构理论成为随机分析的主流工具，并被推广到一大类超临界 / 奇异 SPDE。海尔于 2021 年获洛夫·肖克奖。

关于方法

正则结构的核心是”模型（model）“与”粗糙路径”的推广：把解在每点附近展开成”正则分量 + 发散分量”的树状结构，用重正化（如 Wick 排序、抵消项）消除发散；再把方程写成该结构上的不动点问题——类似于粗糙路径理论（Lyons）对随机微分方程的提升，但是向分布值、多维、超临界情形的飞跃。

相关链接

菲尔兹奖 概率论偏微分方程