霍奇猜想的提出
1950年前后霍奇提出猜想，关联代数簇的拓扑上同调类与代数子簇。
背景
代数几何研究多项式方程组的解集（代数簇）。一个根本问题是：代数簇的拓扑结构（如同调、上同调）在多大程度上能由其代数结构（代数子簇）给出。
详细描述
1950年前后，英国数学家威廉·霍奇（W. V. D. Hodge）在《调和积分》等著作中提出霍奇猜想：对复射影代数簇，其整（或有理）上同调中的”霍奇类”——即类型为 的上同调类——可由代数子簇的(有理线性组合的)上同调类表示。
换言之，该猜想断言：拓扑上由 Hodge 结构筛选出的某些特殊上同调类，实际上”源于”代数几何对象（代数子簇）。
求解过程 / 影响（含最新进展若相关）
霍奇猜想是代数几何与拓扑之间的一座深刻桥梁。目前已知仅在小维数（如簇维数 ）等特例下为真，高维一般情形仍未解决。它被列为”千禧年七大难题”之一（官方陈述由Pierre Deligne撰写）。其与动机（motive）理论、代数圈（algebraic cycles）的研究紧密相连，是当代代数几何最具挑战性的方向之一。