高斯《算术研究》与同余理论
高斯1801年出版《算术研究》，奠基现代数论并系统建立同余理论。
背景
18世纪的数论多为零散结果（费马、欧拉等人贡献良多），缺乏统一而严密的理论框架。卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777–1855）在青年时期便系统整理并推进这一领域，使其上升为一门严谨的科学。
详细描述
1801年高斯出版《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae），这是现代数论诞生的标志。他首次系统引入同余记号： 表示 。书中系统发展二次剩余理论，给出二次互反律的第一个严格证明（高斯称其为”算术宝石”），并研究二元二次型、分圆方程与同余方程。高斯还以同余语言重构了以往关于素数与完全剩余系的零散结论，使模运算成为数论的核心工具。
求解过程 / 影响
《算术研究》把数论从猜想到证明、从特例到一般理论，确立了模运算这一核心语言，至今仍是数论的公共基础。高斯的工作直接影响了狄利克雷、黎曼，并催生了代数数论；他在书中对分圆方程与高斯整数的探讨，为19世纪代数数论与代数几何埋下伏笔。此书与高斯1796年证明的”正十七边形尺规作图”（基于分圆域）一起，彰显了代数方法与数论的统一，被尊为现代数论奠基之作。