柯西与魏尔斯特拉斯：分析严格化

柯西与魏尔斯特拉斯以极限与ε-δ语言为微积分奠基严格基础。

时代: 19世纪
文明 / 地域: 欧洲

背景

牛顿、莱布尼茨的微积分依赖”无穷小”，概念含混，遭贝克莱等人质疑（所谓”消失量的鬼魂”）。18世纪分析虽繁荣却缺乏严密基础，极限、连续与收敛常凭直觉。

详细描述

奥古斯丁·柯西在1821年《分析教程》中首次以极限定义导数与积分，给出连续的明确定义，并系统研究级数收敛。卡尔·魏尔斯特拉斯进一步以 $\varepsilon$ – $\delta$ 语言精确刻画极限：

$\lim_{x\to a}f(x)=L\iff\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \text{使 }0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.$

他提供处处连续却处处不可导的函数反例，颠覆直观；并将分析建立在实数理论与算术之上，摆脱几何直观。柯西还奠定复变函数基础（柯西积分定理、留数理论）。

求解过程 / 影响

严格化使微积分成为可靠的科学，消除了自牛顿以来两百年的逻辑隐患，并催生实数理论（戴德金分割、康托尔实数构造）与度量空间概念。复分析的严密化推动了19世纪数学物理与数论（如黎曼ζ函数）的发展。这一”分析算术化”运动是19世纪数学最深刻的转向之一，奠定了现代数学分析的全部基础，使后续的泛函分析、拓扑学得以在坚实根基上生长。