克劳斯·罗特

获奖原因

克劳斯·罗特（Klaus Roth，1925–2015）获 1958 年菲尔兹奖，核心是他在丢番图逼近中证明的 Roth 定理。

经典问题：用有理数逼近一个实数 $\alpha$ 能达到多好？对代数数（次数 $\ge 2$ 的无理代数数），刘维尔、图埃（Thue）、西格尔（Siegel）逐步改进了下界。罗特定理给出终极形式：对任意代数数 $\alpha$ 与任意 $\varepsilon>0$，不等式 $\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2+\varepsilon}}$ 只有有限多个有理解 $p/q$。换言之，代数数不能被”比平方倒数更快”地有理逼近——这把图埃–西格尔的估计中的指数从 $d/2+\varepsilon$（$d$ 为次数）锐化到最优的 $2+\varepsilon$。该定理是现代丢番图逼近的基石，其证明融合了高度（height）与稀疏有理逼近的深刻组合论证。

罗特还在加法数论与极值组合中有奠基贡献：他证明了”任意大整数集若其元素表为两平方和的表示数有界，则密度可任意小”（Roth 关于平方和密度的定理），并提出著名的 Roth 定理在算术级数中的密度版本（Szemerédi 定理在 $k=3$ 的特例：正整数中无 3 项等差的子集密度为 0），成为后来 Szemerédi 一般定理的源头。他长期任教于伦敦大学学院与帝国理工。

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菲尔兹奖 数论