两信封悖论

题目

你面前有两个信封，已知一个里面的金额是另一个的 2 倍（但你不知道哪个多）。你随机拿起一个，打开看见里面是 100 元。

这时你想：另一个信封要么是 50 元，要么是 200 元，概率各半。那么换过去的期望收益是：

$\frac12\cdot 50 + \frac12\cdot 200 = 125\ \text{元} > 100\ \text{元}$

于是“应该换”。可对称地，对你最初拿的那个信封，同样的推理也成立——那岂不是“无论拿哪个都该换”？这显然荒谬。问题在哪？

答案与解析

矛盾的根源是：那个“一半概率 50、一半概率 200”的先验分布根本不存在——它把“未知”当成了“等概率的两可能值”。

真实的设定是：先有一个金额 $x$，另一个信封是 $2x$。你抽到的 100 元，可能是那个“小的 $x$”也可能是“大的 $2x$”；但关键在于，这两个情形发生的概率并不由 100 本身决定，而取决于 $x$ 原本是怎么选出来的（即先验分布）。若没有指定 $x$ 的分布，就不能凭空说“50 和 200 各半”。

一旦给定具体先验（例如 $x$ 在某个范围均匀选取），仔细计算就会发现：换或不换的总期望完全相同，所谓“125 > 100”的推理偷换了一个不存在的等概率假设。

另一种清晰的看法：用“比率”而非“金额”思考。换信封的收益是“要么减半、要么翻倍、各半”，期望乘子是 $\frac12\cdot\frac12 + \frac12\cdot 2 = 1.25$——但这 1.25 倍是对当前金额而言，而当前金额本身已是随机抽样的产物，整体套用就会 double counting。把两层的随机性理清，悖论即消。

背后的数学

两信封悖论是期望与先验分布最纠缠的案例之一，和圣彼得堡悖论、 sleeping beauty 问题同属“如何正确使用期望”的家族。

核心教训：期望值必须相对一个明确的随机变量分布来计算；当分布未被指定时，任何“各半”的假设都是凭空捏造。它也警示：对称性推理若不加约束地层层套用，会导出自相矛盾的“该永远交换”。