两位数平方，心算三秒出

题目

不列竖式，心算 $47^2$、$63^2$、$86^2$。有没有通用快手？

答案与解析

用恒等式 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，把两位数 $N=10a+b$ 拆开： $N^2 = (10a)^2 + 2(10a)b + b^2 = 10a(10a+2b) + b^2$

步骤：先算 $10a+2b$，乘 $10a$，再加 $b^2$。

• $47^2$：$a=4,b=7$，$10a+2b=40+14=54$，$10a\times54=40\times54=2160$，加 $7^2=49$ → 2209。
• $63^2$：$63=60+3$，$60\times(60+6)=60\times66=3960$，加 $9$ → 3969。
• $86^2$：$86=80+6$，$80\times(80+12)=80\times92=7360$，加 $36$ → 7396。

熟练后三步可并作一眼。

背后的数学

这只是代数恒等式的实战化。更一般地，$\;(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$ 等恒等式族，是速算、因式分解、乃至差分法的共同源头。把“记忆公式”变成“肌肉动作”，算术就快了。