立方和竟等于平方和：1³+2³+…+n³=(和)²

题目

前 $n$ 个自然数的立方和，有没有简洁闭式？试算前四项：$1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64=100$。100 是不是有点眼熟？

答案与解析

惊人的公式： $1^3+2^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+\cdots+n\right)^2 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

验证前四项：右边 $(1+2+3+4)^2=10^2=100$，吻合。前五项加 $5^3=125$ 得 225，右边 $(15)^2=225$，再吻合。

可用数学归纳法证明：假设对 $n$ 成立，则对 $n+1$： $\left[\frac{n(n+1)}2\right]^2+(n+1)^3 = (n+1)^2\left[\frac{n^2}{4}+n+1\right]=(n+1)^2\frac{(n+2)^2}{4}=\left[\frac{(n+1)(n+2)}2\right]^2$

背后的数学

这条恒等式说明“体积之和”与“长度之和”在平方意义下重合，常被几何化为“用 L 形小块拼成大正方形”（尼科马霍斯图）。它也是研究幂和（Faulhaber 公式）的入口——所有奇数次幂和都能写成多项式，而立方和这一条因对称美而最负盛名。