理发师悖论：他到底给不给自己刮脸

题目

某村只有一位理发师，他立下规矩：

他给且只给那些“不给自己刮胡子的人”刮胡子。

问题是：这位理发师，给自己刮胡子吗？

答案与解析

又是一个两难：

• 如果他给自己刮胡子，那他就属于“给自己刮胡子的人”，按规矩他不该给这类人刮 —— 矛盾。
• 如果他不给自己刮胡子，那他就属于“不给自己刮胡子的人”，按规矩他应该给自己刮 —— 又矛盾。

无论怎样都说不通。

背后的数学

这是罗素（Bertrand Russell）在 1901 年提出的理发师悖论，用来通俗地呈现他发现的一个严肃漏洞：罗素悖论。

朴素集合论允许“由满足某性质的元素构成的集合”。若定义集合 $R = \{x \mid x \notin x\}$（所有不属于自身的集合），问 $R \in R$ 是否成立，会得到和理发师一模一样的矛盾。

为避免这类灾难，数学家发展出公理化集合论（如 ZF），用“分离公理”等限制，禁止这种“包揽一切”的定义。一把剃刀，剃掉了集合论的一块肿瘤。