勒洛三角形：能当轮子的方“圆”

题目

圆之所以能平稳滚动，是因为宽度（相对两条平行切线间距）处处相等。有没有不是圆、却也“等宽”的形状？它还能滚动吗？

答案与解析

有！最经典的是勒洛三角形（Reuleaux Triangle）：取等边三角形，以每个顶点为圆心、边长为半径画弧，三段弧围成的曲边三角形。

神奇性质：无论怎么转，它夹在两条平行切线间的宽度恒等于边长——所以它能像圆一样在方正槽里平稳滚动（不会卡顿）。但它不是圆，转角处是尖的，滚起来重心会上下晃。

应用随处可见：

• 钻头：正方形孔钻机能钻出方孔，靠的就是勒洛三角状刀头在方槽中转动；
• 硬币：英国的 20/50 便士、加拿大的一些硬币用等宽曲线，方便盲人辨识、自动售货机识别；
• 变焦镜头的恒定光圈机构。

背后的数学

它属于等宽曲线（curves of constant width）。巴比内定理指出：所有等宽 $w$ 的曲线，周长都是 $\pi w$（和圆一样！），但面积以圆最大（巴比内-勒洛不等式）。圆不是唯一的“等宽体”，这打破了“等宽=圆”的直觉。