全1数：111…1 里藏着多少素数

题目

定义全 1 数（repunit） $R_n = \underbrace{111\cdots1}_{n\text{个}} = \frac{10^n-1}{9}$。

比如 $R_2=11$、$R_3=111=3\times37$、$R_{19}$ 是素数。问：哪些 $n$ 会让 $R_n$ 是素数？

答案与解析

首先，若 $n$ 是合数，则 $R_n$ 必为合数。因为若 $n=ab$，则 $R_n = R_a \times (1+10^a+10^{2a}+\cdots+10^{(b-1)a})$ 所以素性只可能出现在 $n$ 为素数时。

但 $n$ 是素数也不保证 $R_n$ 是素数：$R_3=111=3\times37$（3 是素数但 $R_3$ 合），$R_5=11111=41\times271$。已知使 $R_n$ 为素数的 $n$ 有：2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343……稀少得惊人。

背后的数学

全 1 数是梅森数 $2^n-1$ 的“十进制表亲”。它们与循环单位（cyclic numbers）、素性检验、乃至 RSA 所需的大素数生成都有联系。寻找更大的素数 repunit，至今仍是分布式计算（如 repunit 素数搜索）的热门目标——简单的数字 1，叠出了深邃的素数分布之谜。