杨辉三角 · 世界数学发展史

题目

把数字排成如下三角形：顶端是 1，每行两端都是 1，中间的每个数等于它正上方和左上方两个数之和。

        1
      1   1
    1   2   1
  1   3   3   1
1   4   6   4   1

这个“杨辉三角”（西方叫帕斯卡三角）里，到底藏着多少秘密？

秘密一：组合数。 第 $n$ 行第 $k$ 个数（从 0 数起）正是二项式系数：

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

所以 $(a+b)^n$ 展开的系数，直接读这一行。

秘密二：2 的幂。 每一行的和都是 $2^n$ （因为 $(1+1)^n=2^n$ ）。

秘密三：斐波那契。 把三角按“斜线”相加，就得到斐波那契数列 1,1,2,3,5,8…

秘密四：平方和。 第 $n$ 行中间那个数，等于前 $n$ 行两端数列的平方和，例如 $6 = 1^2+2^2+1^2$ 在对应斜线上成立（更经典的是： $\binom{n}{k}$ 的平方和 $\sum_k \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$ ）。

秘密五：素数。 若 $n$ 是素数，则第 $n$ 行（除两端的 1）全部能被 $n$ 整除。

中国数学家的记载早于帕斯卡约 400 年：南宋杨辉《详解九章算法》（1261）引述了贾宪的“开方作法本源图”。它把组合数学、代数、数论 quietly 缝在一起。

它的递归定义 $C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)$ 正是动态规划和分治思想的雏形；而“每个数是左上两数之和”这条朴素规则，生成的却是描述整个二项式世界的系数表——简单规则孕育复杂结构的典型。