一眼看穿整除：数位和的秘密

题目

不用做除法，判断 123456 能不能被 3 整除？能不能被 9 整除？

答案与解析

把各位数字加起来：$1+2+3+4+5+6 = 21$。

• 21 能被 3 整除 → 123456 能被 3 整除。✓
• 21 不能被 9 整除 → 123456 不能被 9 整除。✗

这就是从小就会的“数位和判整除”法则。

背后的数学

原理藏在模 9 里。注意 $10 \equiv 1 \pmod 9$，所以 $10^k \equiv 1^k = 1 \pmod 9$。于是任意数 $N = d_k 10^k + \cdots + d_1 10 + d_0 \equiv d_k + \cdots + d_1 + d_0 \pmod 9$ 也就是说，一个数与它的数位和，除以 9 同余（同余于 9 时即整除 9；整除 3 同理，因为 9 的倍数必是 3 的倍数）。

数位和对 9 同余，还衍生出“弃九法”快速验算乘法，以及每个数模 9 的“数字根（digital root）”——不断求和直到一位数，它恒等于原数模 9（9 映射为 9）。