辛普森悖论

题目

某医院比较两种肾结石疗法的治愈率，按结石大小分成两组：

分组	疗法 A 治愈率	疗法 B 治愈率
小结石	93/100 = 93%	87/100 = 87%
大结石	73/100 = 73%	69/100 = 69%
合计	166/200 = 83%	156/200 = 78%

咦，A 在两个分组里都更高，合计也更高——这回没反转。我们把数字改一改：

分组	疗法 A	疗法 B
小结石	81/87 = 93%	234/270 = 87%
大结石	192/263 = 73%	55/80 = 69%
合计	273/350 = 78%	289/350 = 83%

现在：每个分组 A 都更高，但合计 B 反而更高！ 这可能吗？

答案与解析

完全可能，而且上面就是真实论文里的数据（Charig et al., 1986）。

关键在于样本量（权重）被颠倒了：疗法 B 大量用在了容易治的小结石上（270 例），少量用在了难治的大结石（80 例）；疗法 A 反之，主要集中在难治的大结石（263 例）。于是 B 被“容易病例”拉高了总体，A 被“困难病例”拖低了总体——即使它在每种难度下都更优。

合并时，原本该控制的“结石大小”这个混淆变量被混在总数里，结论就反转了。

背后的数学

这就是辛普森悖论：在分组层面成立的趋势，在汇总层面可能反转（或反之），当各组的样本量权重差异很大且分组与结果都相关时就会发生。

它的教训极其深刻：

• 看“总计”前，先问分组是否均衡；
• 相关性不等于因果——背后可能有第三个变量在捣鬼；
• 临床试验、人口普查、薪资性别差异等领域都曾栽在这个悖论上。

统计不是把数加起来那么简单，怎么分层、权重如何，直接决定你看到的是真相还是幻象。