若尔当曲线定理：一圈线必分内外

题目

在平面上画一条简单闭曲线（首尾相连、自己不相交，像圆、像土豆形、像任意扭曲的环）。它能把平面分成几部分？

答案与解析

恰好两部分：内部和外部。 而且从外部任意一点到另一外部点，可以不穿过曲线；要进“内部”则必须穿过曲线一次。这就是若尔当曲线定理（Jordan Curve Theorem）。

听起来像废话？但“任意扭曲、甚至极度不规则（连续但处处不可微）”的闭曲线也成立，就不是直觉能担保的了。历史上曾有人给出“显然成立”的错误证明，直到拓扑学成熟才严格搞定。

背后的数学

它是平面拓扑的基石之一。推广到高维即若尔当-布劳威尔分离定理。应用极广：判断“点是否在多边形内”（射线法）、图像分割、GIS 边界判定，底层逻辑都依赖它。一个“显然”的定理，撑起了计算几何的半壁江山。