三囚犯难题：守卫一句话改变了什么

题目

甲、乙、丙三名死囚，长官明日将随机赦免其中一人（各 1/3）。甲问守卫：“告诉我谁会被处死（别说是我）。”守卫答：“乙会被处死。”

甲心想：乙死定了，剩下我和丙，我活命概率从 1/3 升到了 1/2。对吗？

答案与解析

不对。 甲的存活概率仍是 1/3，而丙升到了 2/3。

理由：最初甲、乙、丙被赦免概率各 1/3。守卫的回答受规则约束（不能透露甲是否被赦免）：

• 若甲被赦免（1/3），守卫只能在乙、丙中报一个处死的，报“乙死”概率 1/2；
• 若乙被赦免（1/3），守卫必报“丙死”，不会报乙死；
• 若丙被赦免（1/3），守卫必报“乙死”。

所以“守卫报乙死”这一事件，来自(甲赦免且报乙)和(丙赦免)两种情形。甲被赦免的占比 = $\frac{1/3\times1/2}{1/3\times1/2+1/3}=1/3$。丙则是 $2/3$。

背后的数学

这是三门问题的“人物版”。关键差别：守卫主动透露了一个确定的处死名额，信息改变了各人赦免的条件概率分布，但甲自己的处境没变。直觉容易把“排除一个选项”误当成“均分剩余概率”。