百盏灯

题目

走廊上有 100 盏灯，初始全关。100 个人依次走过：

• 第 1 个人切换每盏灯（开→关、关→开，即全打开）；
• 第 2 个人切换所有 2 的倍数的灯；
• 第 3 个人切换所有 3 的倍数的灯；
• ……
• 第 $k$ 个人切换所有 $k$ 的倍数的灯；
• 第 100 个人只切换第 100 盏。

“切换”即按一下开关：关变开、开变关。100 人走完后，哪些灯是亮着的？

答案与解析

第 $n$ 盏灯被切换的次数，等于 $n$ 的正因数个数（因为第 $k$ 个人只动 $k$ 的倍数灯）。

• 被切换偶数次 → 回到关；
• 被切换奇数次 → 最终亮着。

所以问题变成：哪些数的正因数个数是奇数？

一般的数，因数都是成对出现的：若 $d$ 整除 $n$，则 $n/d$ 也整除 $n$。只有当中出现 $d = n/d$，即 $n = d^2$ 时，这对因数重合为同一个，因数总数才变成奇数。

因此，因数个数为奇数的，恰是完全平方数：$1,4,9,16,25,36,49,64,81,100$。

结论：最后亮着的，正是这 10 盏编号为完全平方数的灯。

背后的数学

这是一个把“开关状态”翻译成“整除性质”的漂亮转换。核心观察是：只有平方数有奇数个因数。

它常作为数论入门题，训练人把“操作次数”与“数的结构”对应起来。顺着它能引出更多：因数个数函数 $d(n)$、完全平方数的分布、乃至“约数和”函数。小小的 100 盏灯，照见的是整数因分解的对称性。