巴拿赫-塔斯基：一个球变两个球

题目

能不能把一个实心球，切成有限块，然后只通过旋转和平移（不拉伸、不缩放），重新拼成两个和原来一样大的实心球？

听起来像永动机——但数学上，答案是可以。

答案与解析

这就是 1924 年的巴拿赫-塔斯基悖论（Banach–Tarski Paradox）。具体做法依赖球面上一种“自由群”的旋转结构，把球分解成约 5 块（可优化到 4 块非连通部分），每块本身极度“碎”、形状怪异，但靠旋转/平移两两拼合，能凑出两个完整球。

关键前提：这些碎块不是通常的“有体积”的图形，它们是不可测集——勒贝格测度（体积）对它们无定义。所以“体积守恒”在这里根本没被违反，因为根本没给这些块分配体积。

背后的数学

该构造用到了选择公理（Axiom of Choice）。事实上，巴拿赫-塔斯基反过来说明：若不承认选择公理，就可能保住“刚体运动保体积”的直觉。它深刻揭示了无穷集合的反直觉本性——无限可分的东西，能玩出有限世界绝不可能的事。当然现实中物质是原子的，切不出不可测块，所以别想拿它造金子。