阿基里斯与乌龟

题目

乌龟在阿基里斯前面 100 米处起跑，阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍。芝诺论证道：

• 阿基里斯要先跑到乌龟的起点，可这时乌龟又向前爬了 10 米；
• 阿基里斯再追这 10 米，乌龟又爬了 1 米；
• 再追 1 米，乌龟又爬 0.1 米……

如此无穷多段路程，每段都要花时间。芝诺由此说：阿基里斯永远也追不上乌龟。

可现实中他当然追得上。问题出在哪？

答案与解析

破绽在于：芝诺把路程分成了无穷多段，却默认“无穷多段时间之和也无穷长”。其实这无穷段时间加起来是有限的。

设阿基里斯速度 $v$，乌龟速度 $v/10$，初始差距 100 米。各段所需时间依次是：

$t_1=\frac{100}{v},\quad t_2=\frac{10}{v},\quad t_3=\frac{1}{v},\quad \dots$

这是一个等比级数：

= \frac{100}{v}\cdot\frac{1}{1-1/10} = \frac{1000}{9v}$$ 有限！在这段时间里，阿基里斯跑了 $\frac{1000}{9}$ 米，正好在距起点 $\frac{1000}{9}$ 米处追上乌龟。 ## 背后的数学 这是**芝诺悖论**中最著名的一个，揭示的核心概念是**极限**与**无穷级数求和**。 关键认识：**无穷多个正数相加，和可以是有限的**（只要它们足够快地趋于 0）。微积分正是建立在“用无穷细分来求有限总量”之上。芝诺的诡辩，反而成了催生极限思想的催化剂。