贝特朗悖论：随机弦到底有多长

题目

在单位圆内“随机”取一条弦，问它的长度大于圆内接正三角形边长（即 $\sqrt{3}$）的概率是多少？

答案与解析

诡异之处在于：“随机取一条弦”没有唯一含义，不同的等可能化方式得到不同答案：

1. 固定圆心方向，随机选中点距圆心的距离 $r\in[0,1]$：弦长 $> \sqrt3$ 要求 $r<1/2$，概率 1/2。
2. 随机选弦的一端，另一端在圆周长上均匀取：几何算得概率 1/3。
3. 弦的中点在圆盘内均匀随机取：中点落进半径为 1/2 的同心圆时弦够长，面积比 $(1/2)^2=1/4$，概率 1/4。

同一个问句，三个“合理”答案。

背后的数学

这是 1889 年贝特朗（Joseph Bertrand）提出的贝特朗悖论。它说明：在连续空间里说“随机取一个几何对象”，必须先指定概率测度（probability measure）——不定义“等可能”到底指什么，问题本身不自洽。它直接催生了现代几何概率与积分几何对测度的严谨处理。