被7整除的截尾口诀

题目

不用长除法，判断 161、273、1001 能不能被 7 整除。

答案与解析

用截尾法（truncation）：设数 $N=10b+a$（$a$ 是个位），反复计算 $b-2a$，直到变小。

• 161：$b=16,a=1$ → $16-2=14$，14 能被 7 整除 → 161 能被 7 整除（161=7×23）。✓
• 273：$27-2\times3=21$ → 可被 7 整除 → ✓（273=7×39）。
• 1001：$100-2\times1=98$，$9-2\times8=-7$ → 可被 7 整除 → ✓（1001=7×143）。

背后的数学

原理是模 7 等价变形： $N=10b+a \equiv 10b+a - 10(b-2a)=21a \equiv 0 \pmod 7$ 所以 $N$ 与 $b-2a$ 同余于 7。反复截尾不断缩小，直到可直接判断。类似技巧可用于 13（算 $b-9a$ 或 $b+4a$）、11（交错的奇偶位差）等——本质都是在做同余化简。