希尔伯特旅馆

题目

大卫·希尔伯特讲过一家神奇的旅馆：它有无穷多间房，编号 $1,2,3,\dots$，而且已经住满了。

1. 这时又来了一位新客人，经理能安排他住下吗？
2. 来了无穷多位新客人呢？
3. 来了无穷多辆巴士，每辆载着无穷多位客人呢？

直觉告诉我们“客满了就住不下”，但答案全是：能。

答案与解析

情况 1（1 位新客）： 让 1 号房客搬到 2 号，2 号搬到 3 号……所有原住客从 $n$ 搬到 $n+1$。这样 1 号房空出来，新客入住。原来“满”的状态被整体平移，腾出了第一个位置。

情况 2（无穷多位新客）： 让原住客从 $n$ 搬到 $2n$（1→2, 2→4, 3→6…），所有奇数号房全部空出，正好容纳可数无穷位新客。

情况 3（无穷辆巴士，每辆无穷人）： 把原住客和所有新客一起，按“质数幂”编号——例如用第 1 个质数 2 的幂安排老住客，第 2 个质数 3 的幂安排第 1 辆巴士的客人，第 3 个质数 5 的幂安排第 2 辆巴士……由于质数有无穷多个，每辆巴士都能分到一串互不重叠的房间。

背后的数学

核心在于：无穷集合可以和它的真子集一样大。

自然数集 $\{1,2,3,\dots\}$ 和偶数集 $\{2,4,6,\dots\}$ 之间存在一一对应（乘以 2），所以“去掉一半”后数量没变。这种能和自然数一一对应的无穷，叫可数无穷（基数 $\aleph_0$）。

希尔伯特旅馆用寓言说明了：对无穷而言，“部分等于整体”不再荒谬，而是定义的一部分。它也是康托尔集合论最直观的入口。