熄灯游戏：按一下，点亮一片

题目

一个 $5\times5$ 的灯阵，每盏灯亮或灭。按其中一盏，会翻转它自己以及上下左右相邻的灯（亮变灭、灭变亮）。给定初始亮灯图案，能否通过若干次按动，让所有灯全部熄灭？

答案与解析

可以，而且这是一道线性代数题！在模 2 意义下（翻转两次=没翻），设 $x_{ij}\in\{0,1\}$ 表示是否按 $(i,j)$，每盏灯的最终状态是它自己和邻居被按次数的奇偶和。于是 25 盏灯给出 25 个方程： $A\mathbf{x} = \mathbf{b} \pmod 2$ 其中 $A$ 是 25×25 的“影响矩阵”，$\mathbf{b}$ 是初始亮灯向量。问题等价于判断这个二元方程组是否有解。

经典 5×5 版中，矩阵 $A$ 的秩是 23，所以并非所有初始图案都能全灭（有 4 维的“不可解空间”）；能全灭的图案恰占 $2^{23}/2^{25}=1/4$，且解不唯一——按法之间相差零空间里的“幻影模式”。

背后的数学

熄灯游戏（Lights Out，1995 年老虎电子玩具）是有限域 $\mathrm{GF}(2)$ 线性代数的绝佳教具。它把“玩游戏”翻译成“解模 2 方程组”，也连通了图论里的邻接矩阵与编码理论。手机上那些“翻转相邻格子”的益智游戏，骨子里都是同一套代数。