尾数5的平方：前段乘前段加一，接25

题目

心算 $35^2$、$75^2$、$115^2$（都以 5 结尾），有什么一键法？

答案与解析

把数以 5 结尾的数写成 $10a+5$（$a$ 是 5 前面的部分）。则： $(10a+5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100\,a(a+1) + 25$

所以做法：算 $a\times(a+1)$，后面直接接 25。

• $35^2$：$a=3$，$3\times4=12$，接 25 → 1225。
• $75^2$：$a=7$，$7\times8=56$，接 25 → 5625。
• $115^2$：$a=11$，$11\times12=132$，接 25 → 13225。

注意不是“12 和 25 相加”，而是字符串拼接（因为前段乘的是百倍位）。

背后的数学

这只是 $(x+5)^2$ 在十进制里的特殊漂亮形式，源于 $25$ 是 $5^2$ 且进位恰好对齐。同类技巧还有“尾数 25 的平方”“接近整十的平方 $(a+b)(a-b)+b^2$”。代数恒等式，永远是速算的发动机。