赌徒破产：公平赌场里你必输无疑

题目

赌徒带着 $i$ 元入场，目标是攒到 $N$ 元就走，或输光为止。每局独立，赢 1 元概率 $p$，输 1 元概率 $q=1-p$。问他最终能“成功抵达 N 元”的概率是多少？

答案与解析

设 $P_k$ 为身家 $k$ 元时最终到达 $N$ 的概率。它满足递推 $P_k = p P_{k+1} + q P_{k-1}$，边界 $P_0=0,\ P_N=1$。

• 公平赌局 $p=q=1/2$：解为线性，$P_k = k/N$。你带 1 元想赚到 100 元，成功率仅 1%；带 50 元则是 50%。
• 不公平 $p\neq q$： $P_k = \frac{1-(q/p)^k}{1-(q/p)^N}$

特别地，若 $p<1/2$（庄家略占优）且 $N\to\infty$，则 $\lim_{N\to\infty}P_k = (p/q)^{-k}$ 随 $k$ 增大仍趋于 0——只要略处劣势且赌无限久，破产概率趋近 1。

背后的数学

这是经典的赌徒破产问题（Gambler’s Ruin），是一维随机游走的吸收概率。它严丝合缝地解释了：在公平赌场里，任何有限本金面对“无限时间的庄家”，终将归零。这也是凯利公式与“止损”思维的数学根源——别和概率之神比耐心。