伯奇–斯温纳顿-戴尔猜想
椭圆曲线有理点群的秩等于其哈斯–韦伊 L 函数在 s=1 处零点阶数。
详细描述
设 是定义在有理数域 上的椭圆曲线。Mordell 定理表明其有理点群 是有限生成阿贝尔群，其秩 （无穷阶生成元个数）是关键不变量。与该曲线相伴的哈斯–韦伊 L 函数 由模每个素数 的点数构造欧拉积，最初仅在 收敛。
伯奇与斯温纳顿-戴尔在 1960 年代借助剑桥 EDSAC 计算机海量数值实验，于 1965 年正式提出猜想：
并进一步预言 在 处泰勒展开的首项系数可由曲线的若干不变量（Tate–Shafarevich 群阶、挠子群阶、典范高度等）精确表出。
最新进展
部分结果：Coates–Wiles（1976）证明对带复乘的椭圆曲线，若其有无穷多有理点则 ；Kolyvagin 将结论推广到模椭圆曲线（证明了由 推出 的方向之一）。Gross–Zagier 与 Kolyvagin 合作得到 情形的完整证明。配合模性定理，对解析秩为 0 或 1 的情形已基本解决，但一般情形仍开放。它与黎曼、庞加莱[已解]、霍奇、纳维–斯托克斯、杨-米尔斯、P/NP 同为千禧年七大难题。
意义
BSD 猜想是数论的中心问题，将”代数（有理点）“与”分析（L 函数）“通过精确公式相连，风格迥异于多数数论不等式猜想。其工具（模性、欧拉系、Iwasawa 理论）已深刻改变了现代数论，并直接关联费马大定理的证明路径。