卡尔达诺与塔塔利亚：三次方程求根公式

卡尔达诺《大术》公布三次方程求根公式，并触及四次方程与复数。

时代: 文艺复兴
文明 / 地域: 欧洲

背景

文艺复兴后期，意大利迎来”方程求解”的突破。博洛尼亚的德尔·费罗（约 1510 年）最早得到一类三次方程的解法，秘而不宣；威尼斯人塔塔利亚（Niccolò Fontana，约 1535 年）独立重新发现。事件的高潮是卡尔达诺 1545 年的《大术》（Ars Magna）。

详细描述

卡尔达诺（Girolamo Cardano）从塔塔利亚处获知解法秘诀，又发现德尔·费罗更早得出，遂在《大术》中公开三次方程求根公式（今称卡尔达诺公式）。对 $x^3+px=q$ ，令

$x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}.$

其学生费拉里（Lodovico Ferrari）更进一步给出四次方程的求根公式。书中还被迫面对”不可约情形”下出现的 $\sqrt{-1}$ ——卡尔达诺在计算中首次认真处理复数（虽感困惑），为后来的复数理论埋下种子。

求解过程 / 影响

《大术》标志着代数从文字修辞走向公式化，是近世代数的里程碑。三次、四次方程皆可根式求解的事实，激励后世追问”五次及以上是否也能”，最终在 19 世纪由阿贝尔与伽罗瓦以”不可用根式求解”作答（见群论相关里程碑）。复数也由此正式登上数学舞台。