吠陀交叉乘法：竖式被压缩成一根线

题目

用“垂直与交叉（Urdhva Tiryagbhyam）”心算 $12\times34$、$23\times45$。

答案与解析

把每位当作多项式系数，乘积按“同权位交叉相加”得到：

$12\times34$：

• 个位：$2\times4=8$（写下 8）
• 交叉：$1\times4 + 2\times3 = 4+6=10$（写下 0，进 1）
• 十位：$1\times3=3$，加进位 1 → $4$

从高位到低位拼：408。

$23\times45$：

• 个位 $3\times5=15$（写 5，进 1）
• 交叉 $2\times5+3\times4=10+12=22$，加进位 1 =23（写 3，进 2）
• 十位 $2\times4=8$，加进位 2 =10

拼得 1035。

背后的数学

这其实是 $(a x + b)(c x + d) = ac x^2 + (ad+bc)x + bd$ 的按位展开——把进位规则内化后，乘法退化成“局部相乘+错位相加”。对任意位数都成立（连续三层交叉），是多项式乘法 / 卷积的人脑版本。现代 CPU 做大数乘法，算法骨架与此同源（Karatsuba 分治思想也可视作它的推广）。