费马大定理：那行页边写不下的证明

题目

证明：当整数 $n>2$ 时，方程 $x^n + y^n = z^n$ 没有正整数解。

（对比 $n=2$ 时有无穷多勾股数解。）

答案与解析

这叫费马大定理（Fermat’s Last Theorem）。1637 年费马在《算术》页边批注：“我发现了绝妙证明，但这页边太窄，写不下。”此后的 358 年里，它成了数学最著名的悬赏题。

关键进展：

• $n=4$ 费马自己用无穷递降法证了；
• $n=3$ 欧拉证；后续各奇素数被逐个攻克；
• 最终，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在 1994 年用模形式与椭圆曲线的“谷山-志村猜想”攻克一般情形——他把方程和一种椭圆曲线挂钩，证明该曲线若存在则不满足关键性质，从而反证无解。

背后的数学

费马大定理的现代证明，把数论、代数几何、表示论拧成一股绳，催生了整整一个时代的工具。它也是“看似小学、证需博士”的极致：一个问题，养活了三个世纪的整个数学分支。