高斯求和：1+2+…+100=5050

题目

不一个一个加，求 $1+2+3+\cdots+100$。

答案与解析

传说小高斯的做法：正反配成对。

把数列写两遍，一遍正、一遍反： $(1+100)+(2+99)+(3+98)+\cdots+(100+1)$ 共 100 对，每对都是 101，总和 $=100\times101=10100$。这是两遍，所以一遍是 $\frac{100\times101}{2}=5050$

推广到一般 $n$： $1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$

背后的数学

这是等差数列求和的特例，也等价于梯形面积公式（上底 1、下底 $n$、高 $n$ 的梯形面积）。它还是组合数 $\binom{n+1}{2}$——从 $n+1$ 个里选 2 个的方式数，恰好等于前 $n$ 个自然数之和。一个公式，串起代数、几何与计数三种眼光。